Méthode d'Archimède - Construction de deux suites

Pour tout entier naturel \(n\geqslant 2\) , on note \(a_n\) le périmètre du polygone à \(2^n\) côtés inscrit dans le cercle et \(b_n\) le périmètre du polygone à \(2^n\) côtés circonscrit au cercle.

Exercice 1

Justifier que l'on a  \(a_2=2\sqrt{2}\) et  \(b_2=4\) .

Exercice 2

On admet que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 2\) , on a \(b_{n+1}=\dfrac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\)  et \(a_{n+1}=\sqrt{a_nb_{n+1}}\) .
Calculer  \(b_3\) ,  \(a_3\) ,  \(b_4\)  et  \(a_4\) .

Exercice 3

Compléter le programme suivant qui renvoie les  \(k\) premiers termes des suites \((a_n)\) et \((b_n)\) .
On rappelle que la fonction sqrt du module math permet de calculer la racine carrée d'un nombre donné en argument.

from math import sqrt

def archimede(k):
    # La liste La contiendra tous les termes de la suite (a_n)
    La = [0] * (k)
    La[0] = ...
    # La liste Lb contiendra tous les termes de la suite (b_n)
    Lb = [0] * (k)
    Lb[0] = ...
    for i in range(1, k):
        Lb[i] = ...
        La[i] = ...
    return La, Lb

La, Lb = archimede(4)
print('Polygones inscrits : ', La)
print('Polygone circonscrits : ', Lb)